Để đồ thị là một đường parabol thì \(m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2\).

Đồ thị có tung độ đỉnh bằng \(3 m \Leftrightarrow \frac{2 m-5}{m-2}=3 m \Leftrightarrow 2 m-5=3 m(m-2)\)

\(\Leftrightarrow 3 m^{2}-8 m+5=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=\frac{5}{3}\end{array}(\mathrm{tm})\right.\).

Vậy \(\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=\frac{5}{3}\end{array}\right.\).