a) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n}\right)$ giảm và bị chặn.

Q: a) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n}\right)$ giảm và bị chặn.

Ta có $u_{n}^{2}=u_{n}^{2}+1-1 \geq 2\left|u_{n}\right|-1$.Do đó $u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{2 u_{n}-1} \geq 1, \forall n$.Mặt khác $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}\left(\frac{1-3 u_{n}}{2 u_{n}-1}\right)\lt 0, \forall n$.Suy ra dãy $\left(u_{n}\right)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi $u_{1}=2$.

Question

Accepted Answer

Ta có $u_{n}^{2}=u_{n}^{2}+1-1 \geq 2\left|u_{n}\right|-1$.

Do đó $u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{2 u_{n}-1} \geq 1, \forall n$.

Mặt khác $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}\left(\frac{1-3 u_{n}}{2 u_{n}-1}\right)\lt 0, \forall n$.

Suy ra dãy $\left(u_{n}\right)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi $u_{1}=2$.

Đề thi HSG (CT) 20-21 - Phú Yên - MĐ 6218