Giả sử hình nón đã cho có đỉnh \(S\), đường tròn đáy tâm \(O\) và thiết diện qua trục là tam giác \(S A B\) cân tại \(S\) như hình vẽ.

Từ giả thiết, suy ra \(\widehat{A S B}=60^{\circ}\), do đó \(S A B\) là tam giác đều.

Mặt khác \(\pi \cdot O B \cdot S B=6 \pi a^{2} \Leftrightarrow O B \cdot 2 O B=6 a^{2} \Leftrightarrow O B=a \sqrt{3} \Rightarrow S O=3 a\).

Thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3} \pi \cdot O B^{2} \cdot S O=\frac{1}{3} \pi \cdot(a \sqrt{3})^{2} \cdot 3 a=3 \pi a^{3}\).