Gọi \(A(a ; 0), B(0 ; b)\) lần lượt thuộc các tia \(O x, O y(a\gt 0, b>0)\).

Phương trình \(\Delta\) được viết theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).

\(\Delta\) qua \(A(1 ; 4)\) nên \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1\).

Diện tích tam giác \(O A B\) là \(S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} O A \cdot O B=\frac{1}{2} a b\) với \(a>0, b>0\).

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(1=\frac{1}{a}+\frac{4}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{4}{b}} \Leftrightarrow 1 \geq \frac{4}{\sqrt{a b}} \Leftrightarrow \sqrt{a b} \geq 4 \Leftrightarrow a b \geq 16\)

Ta có: \(S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} a b \geq \frac{1}{2} \cdot 16=8\); diện tích nhỏ nhất: \(\left(S_{\triangle O A B}\right)_{\min }=8\).

Dấu bằng của bất đẳng thức \(A M-G M\) xảy ra nên \(\frac{1}{a}=\frac{4}{b}=\frac{1}{2} \Rightarrow a=2, b=8\).

Phương trình tổng quát của \(\Delta\) là \(\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=1\) hay \(4 x+y-8=0\).