Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{2 x-1}\) có đồ thị là \((C)\), đường thẳng \((d): y=x+m\). Với mọi \(m\) ta luôn có \(d\) cắt \((C)\) tại hai diểm phân biệt \(A, B\). Gọi \(k_{1} ; k_{2}\) lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A, B\). Tìm \(m\) để tồng giá trị \(k_{1}+k_{2}\) đạt giá trị lớn nhất.
A.
\(m=-5\)
B.
\(m=-1\)
C.
\(m=-3\)
D.
\(m=-2\)
Giải thích:
Ta có: \(y^{\prime}=-\frac{1}{(2 x-1)^{2}}\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{-x+1}{2 x-1}=x+m, \forall x \neq \frac{1}{2} \\\Leftrightarrow 2 x^{2}+2 m x-m-1=0 ; \forall x \neq \frac{1}{2} .\end{array}\)Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}=m^{2}+2 m+2\gt 0 ; \forall m \in \mathbb{R} \\ -\frac{1}{2} \neq 0\end{array} \quad \Rightarrow d\right.\) cắt \((C)\) tại hai diểm phân biệt \(A, B\) với \(\forall m \in \mathbb{R}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A, B\) của dồ thị \((C)\) lần lượt là:
\(\begin{array}{l}k_{1}=-\frac{1}{\left(2 x_{A}-1\right)^{2}} ; k_{2}=-\frac{1}{\left(2 x_{B}-1\right)^{2}} . \\k_{1}+k_{2}=\frac{-1}{\left(2 x_{A}-1\right)^{2}}+\frac{-1}{\left(2 x_{B}-1\right)^{2}}=-\frac{\left(2 x_{A}-1\right)^{2}+\left(2 x_{B}-1\right)^{2}}{\left(\left(2 x_{A}-1\right)\left(2 x_{B}-1\right)\right)^{2}}=-\frac{4\left(x_{A}^{2}+x_{B}^{2}\right)-4\left(x_{A}+x_{B}\right)+2}{\left(4 x_{A} x_{B}-2\left(x_{A}+x_{B}\right)+1\right)^{2}} \\=-\frac{4\left(x_{A}+x_{B}\right)^{2}-8 x_{A} x_{B}-4\left(x_{A}+x_{B}\right)+2}{\left(4 x_{A} x_{B}-2\left(x_{A}+x_{B}\right)+1\right)^{2}}=-\frac{4 m^{2}+4(m+1)+4 m+2}{(-2(m+1)+2 m+1)^{2}}=-\left(4 m^{2}+8 m+6\right) \\=-4(m+1)^{2}-2 \leq-2 ; \forall m \in \mathbb{R} .\end{array}\)\(k_{1}+k_{2}\) đạt giá trị lớn nhất bằng -2 khi và chỉ khi \(m=-1\).
Câu hỏi này nằm trong: