Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: \(C_{8}^{2}=28\) cách.

Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: \(C_{3}^{2}=3\) cách.

Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: \(C_{8}^{1} \cdot C_{3}^{2}=24\) cách.

Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: \(C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2}=84\) cách.

Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là: \(28+3+24+84=139\) cách.

Cách khác:

Số cách lấy 3 quả bất kì: \(C_{12}^{3}=220\).

Số cách lấy 3 quả có đủ 3 màu: \(C_{8}^{1} \cdot C_{3}^{1} \cdot C_{1}^{1}=24\).

Số cách lấy 3 quả chỉ có 1 màu: \(C_{8}^{3}+C_{3}^{3}=57\).

Vậy số cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(220-24-57=139\).