Cho tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) nội tiếp đường tròn đường kính \(\mathrm{AD}\). Đường chéo \(\mathrm{AC}\) và \(\mathrm{BD}\) cắt nhau tại \(\mathrm{E}\). Gọi \(\mathrm{F}\) là hình chiếu của \(\mathrm{E}\) trên \(\mathrm{AD}\). Đường thẳng \(\mathrm{CF}\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(\mathrm{M}\) ( \(\mathrm{M}\) khác \(\mathrm{C})\). Gọi \(\mathrm{N}\) là giao điểm của \(\mathrm{BD}\) và \(\mathrm{CF}\).
2) Chứng minh \(F A\) là tia phân giác của góc \(\mathrm{BFM}\) và \(\mathrm{BE} \cdot \mathrm{DN}=\mathrm{EN} . \mathrm{BD}\).
Giải thích:
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(\mathrm{ABEF}\) có \(\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{AFB}\).(1)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(\mathrm{CDFE}\) có \(\angle \mathrm{CFD}=\angle \mathrm{CED}\).(2)\(\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{CED}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle \mathrm{AFM}=\angle \mathrm{CFD}\) (hai góc đối đỉnh)
Từ (1), (2), (3), (4) \(\Rightarrow \angle \mathrm{BFA}=\angle \mathrm{MFA}\)\(\Rightarrow\) FA là tia phân giác của góc BFM.
Chứng minh \(\mathrm{CE}\) là phân giác của \(\angle \mathrm{BCK}\)
\(\Rightarrow \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{NE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NC}}\)Chứng minh \(\mathrm{CD}\) là phân giác góc ngoài tại \(\mathrm{C}\) của \(\triangle \mathrm{BCN}\)
\(\Rightarrow \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{ND}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NC}}\)Từ (5) và (6) \(\Rightarrow \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{NE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{ND}} \Rightarrow \mathrm{BE} \cdot \mathrm{DN}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{EN}\)
Câu hỏi này nằm trong: