Ta có \(B B^{\prime} \perp(A B C)\) nên \(A B\) là hình chiếu vuông góc của \(A B^{\prime}\).

Do đó \(\left(A B^{\prime},(A B C)\right)\) \(=\left(A B^{\prime}, A B\right)=\widehat{B^{\prime} A B}=60^{\circ}\).

Xét tam giác vuông \(B^{\prime} A B\) có \(B B^{\prime}=a \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3}\).

Gọi \(O, O^{\prime}\) lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) nên \(O O^{\prime} \perp(A B C)\) và \(O O^{\prime}=B B^{\prime}=a \sqrt{3}\) là đường cao của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

Do tam giác \(A B C\) và \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) đều nên \(O, O^{\prime}\) là trọng tâm tam giác \(A B C, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\).

Do đáy là tam giác đều cạnh \(a\) nên bán kính đường tròn đáy là \(R=\frac{2}{3} \cdot A M=\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{3}\)

Khi đó thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là \(V=\pi R^{2} h=\pi \cdot\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^{2} \cdot a \sqrt{3}=\frac{\pi a^{3} \sqrt{3}}{3}\).