Ta có

\(\begin{array}{l}\log _{2}(2 x+2)+x-3 y=8^{y} \\\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=3 y+8^{y} \\\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=\log _{2} 2^{3 y}+2^{3 y}\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t)=\log _{2} t+t, \forall t\gt 0\) có \(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t . \ln 2}+1>0, \forall t>0\).

Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \((0 ;+\infty)\).

Do đó \((1) \Leftrightarrow f(x+1)=f\left(2^{3 y}\right) \Leftrightarrow x+1=2^{3 y}\).

Lại có \(0 \leq x \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq 2^{3 y}-1 \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \frac{\log _{2} 2021}{3}\) và \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}\).

Vậy có 4 cặp số nguyên \((x ; y)\) thỏa mãn.