Cho đường tròn \((C)\) : \(x^{2}+y^{2}+6 x-4 y+4=0\) và điếm \(M(-2 ; 3)\).Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và cắt đường tròn tại 2 điểm \(A, B\) sao cho \(A B=\frac{12}{\sqrt{5}}\).
Giải thích:
(C) : \(x^{2}+y^{2}+6 x-4 y+4=0\).
(C) có tâm \(I(-3 ; 2)\), bán kính \(R=3\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(A B \Rightarrow A H=\frac{A B}{2}=\frac{6}{\sqrt{5}}\).
\(\triangle I A H\) vuông tại \(H\), ta có: \(I H=\sqrt{I A^{2}-A H^{2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\).
Phương trình đường thẳng \(A B\) đi qua \(M(-2 ; 3)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{A B}}=(a ; b)\) có dạng: \(a(x+2)+b(y-3)=0 \Leftrightarrow a x+b y+2 a-3 y=0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}I H=d[I, A B] \Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{|-3 a+2 b+2 a-3 b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \Leftrightarrow 9\left(a^{2}+b^{2}\right)=5\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right) \\\Leftrightarrow 2 a^{2}-5 a b+2 b^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=2 b \\a=\frac{1}{2} b\end{array}\right.\end{array}\)Chọn \(b=2 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}a=4 \\ a=1\end{array}\right.\)Với \(a=4 ; b=2\) thì \(A B: 2 x+y+1=0\).
Với \(a=1 ; b=2\) thì \(A B: x+2 y-4=0\).
Câu hỏi này nằm trong: