Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in[-5 ; 5]$ để phương trình $\sqrt{x^{2}-x+m}=\sqrt{x+1}$ có duy nhất một nghiệm.

Q: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in[-5 ; 5]$ để phương trình $\sqrt{x^{2}-x+m}=\sqrt{x+1}$ có duy nhất một nghiệm.

Ta có: $\sqrt{x^{2}-x+m}=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x^{2}-x+m=x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-1 \\ m=-x^{2}+2 x+1\end{array}\right.\right.$ Bảng biến thiên $y=-x^{2}+2 x+1$ trên $[-1 ;+\infty)$ :<figure class="image"><img alt="image.png" src="https://docdn.giainhanh.io/media/test/3acf0a7745b4d59255c5a5487962b38a.png" srcset="https://docdn.giainhanh.io/media/test/3acf0a7745b4d59255c5a5487962b38a.png 245w, https://docdn.giainhanh.io/media/test/3acf0a7745b4d59255c5a5487962b38a.png 500w, https://docdn.giainhanh.io/media/test/3acf0a7745b4d59255c5a5487962b38a.png 750w" sizes="100vw" width="750"></figure>Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m \in(-\infty ;-2) \cup\{2\} \xrightarrow{m \in \mathbb{Z} ; m \in[-5 ; 5]} m=\{-5 ;-4 ;-3 ; 2\}$ nên có 4 giá trị thỏa.

Question

Accepted Answer

Ta có: $\sqrt{x^{2}-x+m}=\sqrt{x+1} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \ x^{2}-x+m=x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-1 \ m=-x^{2}+2 x+1\end{array}\right.\right.$

Bảng biến thiên $y=-x^{2}+2 x+1$ trên $[-1 ;+\infty)$ :

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m \in(-\infty ;-2) \cup\{2\} \xrightarrow{m \in \mathbb{Z} ; m \in[-5 ; 5]} m=\{-5 ;-4 ;-3 ; 2\}$ nên có 4 giá trị thỏa.

Đề thi giữa kì 2 (Cấu trúc mới) - Đề số 36 - MĐ 11240