Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{4}-(m+1) x^{2}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.

Q: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{4}-(m+1) x^{2}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.

Ta có $y^{\prime}=4 x^{3}-2(m+1) x=2 x\left(2 x^{2}-m-1\right)$.Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow m+1\gt 0 \Leftrightarrow m>-1$.Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A(0 ; 1), B\left(\sqrt{\frac{m+1}{2}} ; 1-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right)$,$C\left(-\sqrt{\frac{m+1}{2}} ; 1-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right) \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\left(\sqrt{\frac{m+1}{2}} ;-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right), \overrightarrow{A C}=\left(-\sqrt{\frac{m+1}{2}} ;-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right) \text {. }$Tam giác $A B C$ luôn cân tại $A$. Do đó, tam giác $A B C$ nhọn khi và chỉ khi góc $\widehat{B A C}$ nhọn $\Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}>0 \Leftrightarrow-\frac{m+1}{2}+\frac{(m+1)^{4}}{16}>0 \Leftrightarrow(m+1)\left[(m+1)^{3}-8\right]>0$$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \\ m\lt -1\end{array}\right.$. Kết hợp với điều kiện, ta được $m>1$.

Question

Accepted Answer

Ta có $y^{\prime}=4 x^{3}-2(m+1) x=2 x\left(2 x^{2}-m-1\right)$.

Hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow m+1\gt 0 \Leftrightarrow m>-1$.

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A(0 ; 1), B\left(\sqrt{\frac{m+1}{2}} ; 1-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right)$,

$C\left(-\sqrt{\frac{m+1}{2}} ; 1-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right) \Rightarrow \overrightarrow{A B}=\left(\sqrt{\frac{m+1}{2}} ;-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right), \overrightarrow{A C}=\left(-\sqrt{\frac{m+1}{2}} ;-\frac{(m+1)^{2}}{4}\right) \text {. }$

Tam giác $A B C$ luôn cân tại $A$. Do đó, tam giác $A B C$ nhọn khi và chỉ khi góc $\widehat{B A C}$ nhọn $\Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}>0 \Leftrightarrow-\frac{m+1}{2}+\frac{(m+1)^{4}}{16}>0 \Leftrightarrow(m+1)\left[(m+1)^{3}-8\right]>0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \ m\lt -1\end{array}\right.$. Kết hợp với điều kiện, ta được $m>1$.

Đề thi HSG (CT) 20-21 - Hải Dương - MĐ 5948