Tìm tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\frac{m-\sin x}{\cos ^{2} x}\) nghịch biến trên \(\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right)\).
A.
\(m \geq 1\).
B.
\(m \leq 2\).
C.
\(m \leq \frac{5}{4}\)
D.
\(m \leq 0\)
Giải thích:
Ta có \(y^{\prime}=\frac{-\cos ^{2} x+2 m \sin x-2 \sin ^{2} x}{\cos ^{3} x}=\frac{-1+2 m \sin x-\sin ^{2} x}{\cos ^{3} x}\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right)\) thì
\(y^{\prime} \leq 0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow-\sin ^{2} x+2 m \sin x-1 \leq 0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right) \text {, vì } \cos ^{3} x\gt 0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{6}\right)\)Đặt \(\sin x=t, t \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right)\).
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow-t^{2}+2 m t-1 \leq 0, \forall t \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow m \leq \frac{t^{2}+1}{2 t}, \forall t \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right)\)
Ta xét hàm \(f(t)=\frac{t^{2}+1}{2 t}, \forall t \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right)\)Ta có \(f^{\prime}(t)=\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{4 t^{2}}\lt 0, \forall t \in\left(0 ; \frac{1}{2}\right)\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \((2) \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{4}\).
Câu hỏi này nằm trong: