Hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t giờ \((t \geq 0)\), vị trí tàu A tọa độ độ tính theo công thức \(\left\{\begin{array}{l}x=3-35 t \\ y=-4+35 t\end{array}\right.\), vị trí của tàu B có tọa độ là \(N(4-30 t ; 3-40 t)\). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu ?
Giải thích:
Khi tàu A đứng yên tại vị trí ban đầu \(M\) ứng với \(\mathrm{t}=0\), khi đó \(M(3 ;-4)\).
Tàu B sau khi xuất phát t giờ \((t \geq 0)\) thì ở vị trí điểm \(N(4-30 t ; 3-40 t)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{M N}=(1-30 t ; 7-40 t) \Rightarrow M N=\sqrt{(1-30 t)^{2}+(7-40 t)^{2}}=\sqrt{2500 t^{2}-620 t+50} \mathrm{~d}\)Đặt \(f(x)=2500 t^{2}-620 t+50\).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t=-\frac{b}{2 a}=\frac{31}{250}\).
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{289}{25}\)
Do \(t=\frac{31}{250}\gt 0\) và \(\frac{289}{25}>0 \Rightarrow M N\) ngắn nhất là \(\frac{17}{5}=3,4 k m\) khi \(t=\frac{31}{250}\) giờ.
Vậy nếu tàu A đứng yên tại vị trí ban đầu và tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là \(3,4 \mathrm{~km}\).
Câu hỏi này nằm trong: