Cho hàm số \(\mathrm{y}=-\mathrm{x}^{2}+2(\mathrm{~m}+1) \mathrm{x}+1-\mathrm{m}^{2}\) (m là tham số).
a) Tìm giá trị của \(\mathrm{m}\) để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\mathrm{A}\), B sao cho tam giác \(\mathrm{KAB}\) vuông tại \(\mathrm{K}\), trong đó \(\mathrm{K}(2 ;-2)\).
Giải thích:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(-x^{2}+2(m+1) x+1-m^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}-2(m+1) x+m^{2}-1=0\)Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điềm phân biệt \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
\(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}\gt 0 \Leftrightarrow(m+1)^{2}-m^{2}+1>0 \Leftrightarrow 2 m+2>0 \Leftrightarrow m>-1 \text {. }\)Gọi các nghiệm của phương trình (2) là \(x_{1}, x_{2}\).
Tọa độ các giao điểm \(A, B\) là \(A\left(x_{1} ; 0\right), B\left(x_{2} ; 0\right) ; \overrightarrow{K A}=\left(x_{1}-2 ; 2\right), \overrightarrow{K B}=\left(x_{2}-2 ; 2\right)\).
\(\begin{array}{l}K A \perp K B \Leftrightarrow K A \cdot K B=0 \Leftrightarrow\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)+4=0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+8=0 \\\Leftrightarrow m^{2}-1-2 \cdot 2(m+1)+8=0 \Leftrightarrow m^{2}-4 m+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=1 \\m=3\end{array}\right.\end{array}\)Kết hợp điều kiện \(m>-1\), ta được \(m=1, m=3\).
Câu hỏi này nằm trong: