Cho khối chóp \(S . A B C\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a, S A\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ đến mặt phẳng \((S B C)\) bằng \(\frac{3 a}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho
A.
\(\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}\).
B.
\(\frac{\sqrt{3} a^{3}}{8}\).
C.
\(\frac{\sqrt{21} a^{3}}{28}\).
D.
\(\frac{\sqrt{21} a^{3}}{14}\).
Giải thích:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C, H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(S M\).
Khi đó ta có \(\quad A H=d_{(A,(S B C))}\). Ta có: \(A M=\frac{a \sqrt{3}}{2}, A H=\frac{3 a}{4}\).
\(\frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{A M^{2}} \Rightarrow \frac{1}{S A^{2}}=\frac{4}{9 a^{2}} \Rightarrow S A=\frac{3 a}{2}\).
\(V=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot S A=\frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3 a}{2}=\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}\).
Câu hỏi này nằm trong: