Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}B D \perp A C \\ B D \perp S A\end{array} \Rightarrow B D \perp(S A C) \Rightarrow B D \perp S O\right.\)

Do đó: \(\left\{\begin{array}{l}(S B D) \cap(A B C D)=B D \\ A C \perp B D, A C \subset(A B C D) \Rightarrow((S B D),(A B C D))=(A O, S O)=S O A=\alpha \text {. } \\ S O \perp B D, S O \subset(S B D)\end{array}\right.\)

\(\triangle S A O\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \alpha=\frac{S A}{A O} \Rightarrow S A=A O \cdot \tan \alpha=\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}=a\).

Trong \(\triangle S O C\) kẻ đường cao \(O I,(I \in S C)\).

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}S C \perp O I \\ S C \perp B D,(B D \perp(S A C))\end{array} \Rightarrow S C \perp(B I O) \Rightarrow S C \perp B I\right.\).

\(\triangle I C O \sim \triangle A C S(g-g) \Rightarrow \frac{I O}{A S}=\frac{C O}{C S} \Rightarrow I O=A S \cdot \frac{C O}{\sqrt{A C^{2}+A S^{2}}}=a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2 a^{2}+a^{2}}}=\frac{a \sqrt{6}}{6}\).

\(\triangle B O I: \tan B I O=\frac{B O}{O I}=\frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a \sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3} \Rightarrow B I O=60^{\circ}\).

Vậy \(((S B C),(S A C))=60^{\circ}\).