Tìm tất cả các hàm số \(f:(0,+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)\) thỏa mãn đẳng thức
\(f(x+y)+f(x y)=x+y+x y, \forall x, y \in(0 ;+\infty)\)Giải thích:
\(\begin{array}{l}f(x+y)+f(x y)=x+y+x y, \forall x, y\gt 0 \\x=y=2 \Rightarrow f(4)=4\end{array}\)
Lần lượt thay \((x ; y) \in\{(1 ; 1) ;(2 ; 1) ;(3 ; 1)\}\) vào \((1)\), ta có:
\(\left\{\begin{array} { l } { f ( 2 ) + f ( 1 ) = 3 } \\{ f ( 3 ) + f ( 2 ) = 5 } \\{ f ( 4 ) + f ( 3 ) = 7 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f(3)=3 \\f(2)=2 \\f(1)=1\end{array}\right.\right.\)Thế \(x=t, y=\frac{1}{t}(t>0)\) vào (1) ta thu được:
\(f\left(t+\frac{1}{t}\right)+f(1)=t+\frac{1}{t}+1 \Rightarrow f\left(t+\frac{1}{t}\right)=t+\frac{1}{t} \Rightarrow f(x)=x, \forall x \geq 2\left(\text { Do } t+\frac{1}{t} \geq 2\right) \text {. }\)Tiếp tục thế \(y=2\). Từ (1) ta suy ra
\(\left\{\begin{array}{l}f(x+2)+f(2 x)=x+2+2 x \\f(x+2)=x+2, \forall x>0\end{array} \Rightarrow f(2 x)=2 x, \forall x>0 \text { hay } f(x)=x, \forall x>0\right.\)Thử lại \(f(x)=x, \forall x>0\) thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy \(f(x)=x, \forall x \in(0 ;+\infty)\).
Câu hỏi này nằm trong: