Có duy nhất một cách chia 30 quyển sách thành 15 bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:

+4 bộ giống nhau gồm 1 toán và 1 hóa.

+5 bộ giống nhau gồm 1 hóa và 1 lí.

+6 bộ giống nhau gồm 1 lí và toán.

Số cách trao phần thưởng cho 15 học sinh được tính như sau:

+ Chọn ra 4 người (trong 15 người) để trao bộ sách toán và hóa \(\Rightarrow\) có \(C_{15}^{4}\) cách.

+ Chọn ra 5 người (trong 11 người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí \(\Rightarrow\) có \(C_{11}^{5}\) cách.

+ Còn lại 6 người trao bộ sách toán và lí \(\Rightarrow\) có 1 cách.

Vậy số cách trao phần thưởng là \(C_{15}^{4} \cdot C_{11}^{5}=C_{15}^{6} \cdot C_{9}^{4}=630630\) (cách).

Gọi A là biến cố "An và Bình được nhận phần thưởng có loại giống nhau"

Xét ba trường hợp sau :

TH 1: An và Bình cùng nhận được sách toán và hóa. Có 4 người cùng nhận được sách toán và hóa, trong đó có Ản và Bình. Vì vậy cần chọn ra 2 người trong số 13 học sinh để nhận sách toán và hóa suy ra có \(C_{13}^{2}\) cách chọn. Sau đó chọn ra 5 em trong số 11 học sinh còn lại để nhận sách hóa và lí và 6 học sinh còn lại nhận sách toán và lí. Vậy số kết quả trong TH này là: \(C_{13}^{2} \cdot C_{11}^{5}\)

TH 2: An và Bình cùng nhận được sách hóa và lí. Lập luận tương tự TH 1 ta có số kết quả trong TH này là: \(C_{13}^{3} \cdot C_{10}^{4}\).

TH 3: An và Bình cùng nhận được sách toán và lí. Số kết quả trong TH này là: \(C_{13}^{4} . C_{9}^{4}\).Vậy có \(n(A)=C_{13}^{2} \cdot C_{11}^{5}+C_{13}^{3} \cdot C_{10}^{4}+C_{13}^{4} \cdot C_{9}^{4}=186186\)

Xác suất của biến cố A là \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{186186}{630630}=\frac{31}{105}\).