Cho hình chóp \(\mathrm{S} . \mathrm{ABC}\), có \(\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}\) và đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền \(\mathrm{AB}=a \sqrt{2}\). Mặt bên \((\mathrm{SBC})\) hợp với mặt đáy một góc \(\varphi\) sao cho \(\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{13}}\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(\mathrm{S} . \mathrm{ABC}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\mathrm{AB}\) và \(\mathrm{SC}\).
Giải thích:
\(\left\{\begin{array}{l}S H \perp(A B C) \\ S A=S B=S C\end{array} \Rightarrow H\right.\) là tâm đường tròn \((A B C)\). Mà \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(C \Rightarrow H\) là trung điểm \(A B\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(B C\). Suy ra \(H K\) là đường trung bình của \(\triangle A B C\).
Do đó \(\left\{\begin{array}{l}H K / / A C \\ H K=\frac{A C}{2}=\frac{a}{2}(D o A B=a \sqrt{2})\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}H K \perp B C \\ S H \perp B C\end{array} \Rightarrow B C \perp(S H K) \Rightarrow \widehat{S K H}=\varphi\right.\right.\).
\(\text{Cos} \varphi=\frac{1}{\sqrt{13}} \Rightarrow \tan \varphi=2 \sqrt{3} \Rightarrow S H=H K \cdot \tan \varphi=a \sqrt{3}\).
\(S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B C=\frac{1}{2} a^{2} \Rightarrow V_{S \cdot A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot S H=\frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}\)
\(\mathrm{Gt} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}C H \perp A B \\S H \perp A B\end{array} \Rightarrow A H \perp(S C H) .\right.\)Trong \(\triangle S C H\) kẻ đường cao \(H I \Rightarrow d(S C, A B)=H I\).
Ta có \(\frac{1}{H I^{2}}=\frac{1}{S H^{2}}+\frac{1}{C H^{2}}=\frac{1}{3 a^{2}}+\frac{2}{a^{2}}=\frac{7}{3 a^{2}} \Rightarrow d(A B ; S C)=H I=\frac{\sqrt{21}}{7} a\).
Câu hỏi này nằm trong: