Cho hàm số \(y=\frac{2 x-1}{x+1}\) có đồ thị \((C)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d: y=-x+m\) cắt\((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(\triangle P A B\) đều, biết \(P(2 ; 5)\).
Giải thích:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \((C)\) là nghiệm phương trình\(\frac{2 x-1}{x+1}=-x+m \Leftrightarrow x^{2}-(m-3) x-m-1=0\)(1) \((x=-1\) không là nghiệm của (1)).
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \((\mathrm{C})\) tại hai điểm phân biệt khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta\gt 0 \Leftrightarrow m^{2}-2 m+13>0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).
Gọi \(x_{1}, x_{2}\) là các nghiệm của phương trình (1), ta có: \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m-3 \\ x_{1} x_{2}=-m-1\end{array}\right.\)
Giả sử \(A\left(x_{1} ;-x_{1}+m\right), B\left(x_{2} ;-x_{2}+m\right)\)
Khi đó ta có: \(A B=\sqrt{2\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}\)
\(\begin{array}{l}P A=\sqrt{\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(-x_{1}+m-5\right)^{2}}=\sqrt{\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2}}, \\P B=\sqrt{\left(x_{2}-2\right)^{2}+\left(-x_{2}+m-5\right)^{2}}=\sqrt{\left(x_{2}-2\right)^{2}+\left(x_{1}-2\right)^{2}}\end{array}\)Suy ra \(\triangle P A B\) cân tại \(P\).
Do đó \(\triangle P A B\) đều \(\Leftrightarrow P A^{2}=A B^{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2}=2\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4\left(x_{1}+x_{2}\right)-6 x_{1} x_{2}-8=0\)\(\Leftrightarrow m^{2}+4 m-5=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}m=1 \\ m=-5\end{array}\right.\).
Vậy giá trị cần tìm là \(m=1, m=-5\).
Câu hỏi này nằm trong: