Cho tứ diện $A B C D$ có $A B, A C, A D$ đồi một vuông góc với nhau, biết $A B=A C=A D=1$. Tìm số đo của góc $(A B, C D)$.

Question

Accepted Answer

Theo định lí Pythagore, ta tính được $B C=C D=B D=\sqrt{2}$.

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C, A C, A D$.

Tam giác $A B C$ có $M N$ là đường trung bìnhnên $\left\{\begin{array}{l}M N / / A B \ M N=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Tam giác $A C D$ có $N P$ là đường trung bình nên $\left\{\begin{array}{l}N P / / C D \ N P=\frac{1}{2} C D=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường trung tuyến $A M=\frac{B C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Tam giác $A M P$ vuông tại $A$ có:

$M P=\sqrt{A M^{2}+A P^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}M N / / A B \ N P / / C D\end{array} \Rightarrow(A B, C D)=(M N, N P)\right.$.

Tam giác $M N P$ có: $M N^{2}=\frac{1}{4}, N P^{2}=\frac{1}{2}, M P^{2}=\frac{3}{4}$ hay $M N^{2}+N P^{2}=M P^{2}$.

Suy ra tam giác $M N P$ vuông tại $N$.Vậy $(A B, C D)=(M N, N P)=90^{\circ}$ hay $A B \perp C D$.