Tìm GTLN, GTNN của hàm số: \(f(x)=x\left(10+\sqrt{12-x^{2}}\right)\)

Giải thích:

\(\begin{array}{l}\text {TXĐ: } D=[-\sqrt{12}, \sqrt{12}], f(-x)=-f(x), \forall x \in D . \\f(x) \geq 0 \text { trên }[0, \sqrt{12}], f(x) \leq 0 \text { trên }[-\sqrt{12}, 0] . \\\max _{x \in D} f(x)=\max _{x \in[0, \sqrt{12}]} f(x) \Rightarrow \min _{x \in D} f(x)=-\max _{x \in[0, \sqrt{12}]} f(x)\end{array}\)

Theo BĐT C-B, ta có

\(\begin{array}{l}f(x) \leq x \cdot \sqrt{10+1} \cdot \sqrt{10+\left(12-x^{2}\right)}=x \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{22-x^{2}} \leq \sqrt{11} \cdot \frac{x^{2}+22-x^{2}}{2}=11 \sqrt{11} \\\Rightarrow f(x) \leq 11 \sqrt{11} \text {, dấu " }=\text { " xảy ra } \Leftrightarrow x=\sqrt{11}\end{array}\)

Vậy \(\max _{x \in D} f(x)=11 \sqrt{11}\), khi \(x=\sqrt{11} \cdot \min _{x \in D} f(x)=-11 \sqrt{11}\), khi \(x=-\sqrt{11}\)

Câu hỏi này nằm trong:

THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đề thi HSG (CT) 19-20 - Tp. Đông Hà - Quảng Trị - MĐ 6853