Cho đường thẳng \(d_{1}: x-y-1=0 ; d_{2}: x+2 y+1=0\) và điểm \(C(0 ; 3)\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
a) Khoảng cách từ điểm \(C(0 ; 3)\) đến đường thẳng \(d_{1}\) bằng \(\sqrt{2}\).
A.
B.
Giải thích:
Khoảng cách từ điểm \(C(0 ; 3)\) đến đường thẳng \(d_{1}\) là: \(d\left(C ; d_{1}\right)=\frac{|0-3-1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=2 \sqrt{2}\)
Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\) là \(\cos \left(\overrightarrow{n_{1}} ; \overrightarrow{n_{2}}\right)=\frac{|1 \cdot 1+(-1) \cdot 2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)
Đường thẳng đi qua \(C(0 ; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \(d_{2}\) có phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=3+2 t\end{array}\right.\)
Gọi tọa độ các điểm \(A, B\) và \(C\) là \(A\left(x_{A} ; y_{A}\right) ; B\left(x_{B} ; y_{B}\right)\) và \(C\left(x_{C} ; y_{C}\right)\).
Vì \(A\) thuộc \(d_{1}\) nên \(x_{A}-y_{A}-1=0\).
Suy ra \(x_{A}=y_{A}+1\).
Vì \(B\) thuộc \(d_{2}\) nên \(x_{B}+2 y_{B}+1=0\).
Suy ra \(x_{B}=-2 y_{B}-1\).
Do \(C\) là trung điểm của đoạn \(A B\) nên
\[\Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { x _ { A } + x _ { B } = 2 x _ { C } } \\{ y _ { A } + y _ { B } = 2 y _ { C } }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l } { ( y _ { A } + 1 ) + ( - 2 y _ { B } - 1 ) = 0 } \\{ y _ { A } + y _ { B } = 6 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y_{A}=4 \\y_{B}=2\end{array} \Rightarrow A(5 ; 4) .\right.\right.\right.\]Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(C\).
Ta có: \(\overrightarrow{A C}=(-5 ;-1) \Rightarrow \overrightarrow{n_{A C}}=(1 ;-5)\).
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(C(0 ; 3)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_{A C}}\) nên có phương trình là \(1(x-0)-5(y-3)=0\) hay \(x-5 y+15=0\).
Câu hỏi này nằm trong: