Trước hết, ta chứng minh bổ đề "trong 5 số tục nhiên bất kì, tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3."

Thật vậy,

Với 5 số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 3 , ta luôn chọn được 1 trong hai trường hợp sau.

TH1: Cả ba số khi chia cho 3 có số dư giống nhau suy ra tổng ba số chia hết cho 3.

TH2: Ba số khi chia cho ba có số dư đôi một khác nhau \((3 k ; 3 \mathrm{~m}+1 ; 3 \mathrm{n}+2)\), suy ra tổng của ba số cũng chia hết cho 3 .

Xét 17 số tự nhiên tuỳ ý. Chia chúng thành 3 tâp, có lần lượt \(5,5,7\) phần tử. Trong mỗi tập, ta luôn chọn được 3 số có tổng lần lượt là: \(3 a_{1}, 3 a_{2}, 3 a_{3}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} \in N\right)\) còn lại:\(17-9=8\) số, trong 8 số này, chọn tiếp 3 số có tổng là \(3 \mathrm{a}_{4}\), còn lại 5 số, chọn tiếp 3 số có tổng là \(3 \mathrm{a}_{5}\).

Như vậy, ta luôn có thể chọn từ đoàn ra 5 nhóm, mồi nhóm có 3 thí sinh mà tồng số báo danh của mỗi nhóm lần lượt là \(3 a_{1}, 3 a_{2}, 3 a_{3}, 3 a_{4}, 3 a_{5}\).

Trong 5 số \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) có 3 số \(a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}\) có tồng chia hết cho 3.

Như vậy, 9 học sinh tương ứng có tổng các số báo danh là: