Cách 1:

Trong mặt phẳng \((A B C D)\) dựng hình bình hành \(A M D N\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow A M / / D N \Rightarrow A M / /\left(O^{\prime} D N\right) \\\Rightarrow d\left(A M ; D O^{\prime}\right)=d\left(A M ;\left(O^{\prime} D N\right)\right)=d\left(M,\left(O^{\prime} D N\right)\right)\end{array}\)

Gọi \(O=A C \cap D B \Rightarrow O M \cap\left(O^{\prime} D N\right)=D\) với \(M\) là trung điểm \(O D\)

\(\Rightarrow d\left(M,\left(O^{\prime} D N\right)\right)=\frac{1}{2} d\left(O,\left(O^{\prime} D N\right)\right)\)

Kẻ \(O H \perp N D\) tại \(H\), ta chứng minh được \(O O^{\prime} \perp N D\), do đó \(N D \perp\left(O O^{\prime} H\right)\).

Kẻ \(O K \perp O^{\prime} H\), ta chứng minh được \(O K \perp\left(O^{\prime} D N\right)\) tại \(K\).

Suy ra \(d\left(M,\left(O^{\prime} D N\right)\right)=\frac{1}{2} d\left(O,\left(O^{\prime} D N\right)\right)=\frac{1}{2} O K\)

Ta có \(\triangle O H D\) đồng dạng với \(\triangle A O M\)

\(\Rightarrow \frac{O H}{O A}=\frac{O D}{A M} \Rightarrow O H=\frac{O A \cdot O D}{A M}=\frac{O A \cdot O D}{\sqrt{O A^{2}+O M^{2}}}=\frac{\frac{a^{2}}{2}}{\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{8}}}=\frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \text {. }\)

Ta có \(O K=\frac{O H . O O^{\prime}}{\sqrt{O H^{2}+O O^{\prime 2}}}=\frac{a \sqrt{14}}{7}\)

Vậy \(d\left(A M ; D O^{\prime}\right)=\frac{a \sqrt{14}}{14}\).

Cách 2:

Gọi \(O\) lần lượt là tâm hình vuông \(A B C D, N\) là trung điểm \(O O^{\prime}\) thì \(M N \| O^{\prime} D\)

\(\Rightarrow(A M M) \| O^{\prime} D \Rightarrow d\left(A M, O^{\prime} D\right)=d\left((A M N), O^{\prime} D\right)=d(D,(A M N))=d(O,(A M N))\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \((A M N)\), ta có tứ diện \(O A M N\) vuông đỉnh \(O\) nên

\(\frac{1}{O H^{2}}=\frac{1}{O A^{2}}+\frac{1}{O M^{2}}+\frac{1}{O N^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{8}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}}=\frac{14}{a^{2}}, \Rightarrow d(O,(A M N))=O H=\frac{a \sqrt{14}}{14}\)