\((x+2 y)^{4}=\sum_{k=0}^{4} C_{4}^{k} x^{4-k}(2 y)^{k}=\sum_{k=0}^{4} C_{4}^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{4-k} y^{k}\).

Số hạng chứa \(x^{2} y^{2}\) trong khai triển trên ứng với \(\left\{\begin{array}{l}4-k=2 \\ k=2\end{array} \Leftrightarrow k=2\right.\).

Vậy hệ số của \(x^{2} y^{2}\) trong khai triển của \((x+2 y)^{4}\) là \(C_{4}^{2} \cdot 2^{2}=24\).