Cho tam giác \(A B C\). Trên các cạnh \(B C, C A\) và \(A B\) của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm \(A^{\prime}, B^{\prime}\) và \(C^{\prime}\). Gọi \(S_{a}, S_{b}, S_{c}\) và \(S\) tương ứng là diện tích của các tam giác \(A B^{\prime} C^{\prime}\), \(B C^{\prime} A^{\prime}, C A^{\prime} B^{\prime}\) và \(A B C\). Chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}} \leq \frac{3}{2} \sqrt{S}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Giải thích:
Ta có các công thức tính diện tích: \(\quad 2 S_{a}=A C^{\prime} \cdot A B^{\prime} \sin A ; \quad 2 S=A B \cdot A C \sin A\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{S_{a}}{S}}=\sqrt{\frac{A C^{\prime}}{A B} \cdot \frac{A B^{\prime}}{A C}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{A C^{\prime}}{A B}+\frac{A B^{\prime}}{A C}\right) \text { (BĐT Cauchy) }\)Tương tự ta cũng có: \(\sqrt{\frac{S_{b}}{S}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{B A^{\prime}}{B C}+\frac{B C^{\prime}}{B A}\right)\) và \(\sqrt{\frac{S_{c}}{S}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{C B^{\prime}}{C A}+\frac{C A^{\prime}}{C B}\right)\)
Do đó: \(\sqrt{\frac{S_{a}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{b}}{S}}+\sqrt{\frac{S_{c}}{S}} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{A C^{\prime}}{A B}+\frac{B C^{\prime}}{B A}+\frac{B A^{\prime}}{B C}+\frac{C A^{\prime}}{C B}+\frac{C B^{\prime}}{C A}+\frac{A B^{\prime}}{A C}\right)=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy \(\mathrm{ra} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{A C^{\prime}}{A B}=\frac{A B^{\prime}}{A C} \\ \frac{B A^{\prime}}{B C}=\frac{B C^{\prime}}{B A} \\ \frac{C B^{\prime}}{C A}=\frac{C A^{\prime}}{C B}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}C^{\prime} B^{\prime} / / B C \\ A^{\prime} C^{\prime} / / C A \\ B^{\prime} A^{\prime} / / A B\end{array} \Leftrightarrow A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\right.\right.\) ' là trung điểm của \(B C\), \(C A, A B\)
Câu hỏi này nằm trong: