Cho hình chóp \(S A B C D\) có đáy là hình thang vuông tại 1 và \(B . A B=B C=a, A D=2 a\). Biết \(S A\) vuông góc với đáy \((A B C D)\) và \(S A=a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(S B, C D\). Tính sin góc giữa đường thẳng \(M N\) và mặt phẳng \((S A C)\)
A.
\(\frac{\sqrt{5}}{5}\).
B.
\(\frac{\sqrt{55}}{10}\).
C.
\(\frac{3 \sqrt{5}}{10}\).
D.
\(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\)
Giải thích:
Ta gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(S C_{=} A B\).
Ta có \(M E / / N F\) ( do cùng song song với \(B C\). Nên tứ giác MENF là hình thang, và \(\left\{\begin{array}{l}M F / I S A \\ S A \perp(A B C D)\end{array} \Rightarrow M F \perp(A B C D)\right.\) hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại \(M, F\)
Gọi \(K=N F \cap A C, I=E K \cap M\) thì \(I=M N \cap(S A C)\)
Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}N C \perp A C \\ N C \perp S A\end{array} \Rightarrow N C \perp(S A C)\right.\) hay \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \((S A C)\)
Từ đó ta có được, góc giữa \(M N\) và \((S A C)\) là góc giữa \(M N\) và \(C I\)
Suy ra, gọi \(Q\) là góc giữa \(M N\) và \((S A C)\) thì \(\sin \alpha=\frac{C N}{I N}\)
\(N C=\frac{1}{2} C \mathrm{D}=\frac{a \sqrt{2}}{2} ; \frac{I N}{M}=\frac{K N}{M E}=2 \Rightarrow I N=\frac{2}{3} M N=\frac{2}{3} \sqrt{M F^{2}+F N^{2}}=\frac{a \sqrt{10}}{3}\)Vậy \(\sin \alpha=\frac{C N}{I N}=\frac{3 \sqrt{5}}{10}\).
Câu hỏi này nằm trong: