Mặt phẳng \((P): x+y+z-3=0\) có một vectơ pháp tuyến: \(n_{P}=(1 ; 1 ; 1)\).

Đường thẳng \(d^{\prime}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}\) có một vectơ chỉ phương: \(\overline{u_{d^{\prime}}}=(1 ; 3 ;-1)\).

Đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với đường thẳng \(d^{\prime}\) nên \(d\) nhận \(\vec{u}=\left[\overrightarrow{n_{P}}, \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\right]=(-4 ; 2 ; 2)\) làm một vectơ chỉ phương.