Xét biểu thức \(0\lt 5^{-\left|x^{2}-4 x+3\right|} \leq 1\).

Với mỗi \(M_{0} \in(0 ; 1)\) ta có \(\left|x^{2}-4 x+3\right|=-\log _{5} M_{0} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}(x-2)^{2}=1+\log _{5} M_{0}(1) \\ (x-2)^{2}=1-\log _{5} M_{0}(2)\end{array}\right.\)

Với mỗi \(M_{0} \in(0 ; 1)\) thì \(1-\log _{5} M_{0}\gt 0\) nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt. Để phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow 1+\log _{5} M_{0}>0 \Leftrightarrow M_{0}>\frac{1}{5}\). Dễ thấy phương trình (1) và (2) không thể có nghiệm chung nên để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left\{\begin{array}{l}m^{4}-m^{2}+1>\frac{1}{5} \\ m^{4}-m^{2}+1\lt 1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-1\lt m\lt 1 \\ m \neq 0\end{array}\right.\right.\)