Cho đường tròn (I,r) có hai bán kính IE, IF vuông góc với nhau. Kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (I) tại \(\mathrm{E}\) và \(\mathrm{F}\), cắt nhau tại \(\mathrm{A}\). Trên tia đối của tia \(\mathrm{EA}\) lấy điểm \(\mathrm{B}\) sao cho \(\mathrm{EB}\gt \mathrm{r}\), qua \(\mathrm{B}\) kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (I), \(\mathrm{D}\) là tiếp điểm, \(\mathrm{BD}\) cắt tia \(\mathrm{A}\) tại \(\mathrm{G}\). Gọi \(\mathrm{K}\) là giao điểm của \(\mathrm{AI}\) với \(\mathrm{FD}\).
a) Chứng minh hai tam giác \(\mathrm{IAB}\) và \(\mathrm{FAK}\) đồng dạng.
Giải thích:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(C D=C F \Rightarrow \triangle C D F\) cân tại \(\mathrm{C}\).
\(\Rightarrow \widehat{C F D}=\frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2} \Rightarrow \widehat{\mathrm{AFK}}=180^{\circ}-\widehat{C F K}=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\widehat{C}}{2}=\frac{180^{\circ}+\widehat{C}}{2}~~~(1)\)Tứ giác AEIF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật \(\gt\) Hình chữ nhật AEIF có \(\mathrm{IE}=\mathrm{IF}\) nên là hình vuông. Suy ra \(\widehat{I A B}=\widehat{F A K}=45^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{A I B}=180^{\circ}-(\widehat{I A B}+\widehat{A B I})=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+\frac{\widehat{A B C}}{2}\right)=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+\frac{90^{\circ}-\widehat{C}}{2}\right)=\frac{180^{\circ}+\widehat{C}}{2}~~~(2)\)Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{A B I}=\widehat{A F K}\) kết hợp với \(\widehat{I A B}=\widehat{A F K} \Rightarrow \triangle I A B \sim \triangle F A K\) (g.g)
Câu hỏi này nằm trong: