Cho \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn: \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(a \sqrt{b^{3}+1}+b \sqrt{c^{3}+1}+c \sqrt{a^{3}+1} \leq 5 .\)Giải thích:
- Ta có: \(2 P=2 a \sqrt{b^{3}+1}+2 b \sqrt{c^{3}+1}+2 c \sqrt{a^{3}+1}\)
\(=2 a \sqrt{(b+1)\left(b^{2}-b+1\right)}+2 b \sqrt{(c+1)\left(c^{2}-c+1\right)}+2 c \sqrt{(a+1)\left(a^{2}-a+1\right)}\)\(\stackrel{\text { COSI }}{\leq} a\left(b^{2}+2\right)+b\left(c^{2}+2\right)+c\left(a^{2}+2\right)=a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}+6=M+6\)- Không mất tính tổng quát, giả sử \(b \leq c \leq a\) thì:
\(b(a-c)(c-b) \geq 0 \Leftrightarrow a b c+b^{2} c \geq a b^{2}+b c^{2} \Leftrightarrow a b^{2}+b c^{2}+c a^{2} \leq a b c+b^{2} c+c a^{2} .\)Suy ra \(M \leq a b c+b^{2} c+c a^{2} \leq 2 a b c+b^{2} c+c a^{2}=c(a+b)^{2}=4\).c. \(\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b}{2}\)
\(\leq \frac{4}{27}\left(c+\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}\right)^{3}=\frac{4(a+b+c)^{3}}{27}=4 \text {. }\)- Do đó \(2 P \leq 10 \Leftrightarrow P \leq 5\). Dấu " \(=\) " xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l}a+b+c=3 \\ b \leq c \leq a \\ 2 c=a+b \\ a b c=2 a b c\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b=0 \\ c=1 \text {. } \\ a=2\end{array}\right.\right.\)
- Vậy với \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn: \(a+b+c=3\) thì
\(a \sqrt{b^{3}+1}+b \sqrt{c^{3}+1}+c \sqrt{a^{3}+1} \leq 5 .\)Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi \((a ; b ; c)=(0 ; 1 ; 2),(1 ; 2 ; 0),(2 ; 0 ; 1)\).
Câu hỏi này nằm trong: