Gọi \(D\) là trung diểm của \(A N\).

+) Xét \(\triangle A B N\) có: \(M\) là trung điểm của \(A B\) và \(D\) là trung điểm của \(A N\).

\(\Rightarrow M D\) là đường trung bình của \(\triangle A B N \Rightarrow M D / / B N\).

\(\Rightarrow\) Góc giữa \(S M\) và \(B N\) bằng góc giữa \(S M\) và \(M D\).

+) Xét \(\triangle A B C\) đều có cạnh là \(a=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, B N\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

\(\Rightarrow B N=\frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{6} \mathrm{~cm}\).

Mà \(M D=\frac{1}{2} B N\) (tính chất đường trung bình) \(\Rightarrow M D=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{6}=\sqrt{6} \mathrm{~cm}\).

+) Ta có: \(S B \perp(A B C) \Rightarrow S B \perp B M \Rightarrow \triangle S B M\) là tam giác vuông tại \(B\) \(\Rightarrow S M=\sqrt{S B^{2}+B M^{2}}=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{4 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\).

+) \(\triangle B N D\) vuông tại \(N \Rightarrow B D=\sqrt{B N^{2}+N D^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{6})^{2}+\left(\frac{4 \sqrt{2}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{26} \mathrm{~cm}\).

+) \(\triangle S B D\) vuông tại \(B \Rightarrow S D=\sqrt{S B^{2}+B N^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{26})^{2}}=\sqrt{30} \mathrm{~cm}\).

+) \(\cos \widehat{S M D}=\frac{S M^{2}+M D^{2}-S D^{2}}{2 \cdot S M \cdot M D}=\frac{(2 \sqrt{3})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{30})^{2}}{2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{S M D}=\cos ^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=135^{\circ}\).

\(\Rightarrow\) Góc giữa đường thẳng \(S M\) và \(B N\) bằng \(180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}\).