Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) đề hàm số sau đồng biến trên tập số thực
\(y=\left(4-m^{2}\right) x^{3}+(2-m) x^{2}+7 x-9\)
A.
\(3\)
B.
\(2\)
C.
\(4\)
D.
\(1\)
Giải thích:
TH1. \(4-m^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2\end{array}\right.\)
Với \(m=2\) thì \(y=7 x-9\) là hàm bậc nhất có \(a=7\gt 0\) nên hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow m=2\) (nhận).
Với \(m=-2\) thì \(y=4 x^{2}+7 x-9\) là hàm bậc hai nên hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow m=-2\) (loại).
TH2. \(4-m^{2} \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2\)
Khi đó \(y^{\prime}=3\left(4-m^{2}\right) x^{2}+2(2-m) x+7\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ \(y^{\prime} \geq 0 \forall x \in \mathbb{R}\).
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { a > 0 } \\{ \Delta \leq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { 4 - m ^ { 2 } > 0 } \\{ 2 2 m ^ { 2 } - 4 m - 8 0 \leq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \in(-2 ; 2) \\m \in\left[-\frac{20}{11} ; 2\right]\end{array} \Leftrightarrow m \in\left[-\frac{20}{11} ; 2\right) ; m \in \mathbb{Z}\right.\right.\right. \\\Rightarrow m=-1 ; m=0 ; m=1 .\end{array}\)Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu hỏi này nằm trong: