Để gây quỹ cho chương trình Tết yêu thương, một trường THPT tổ chức cho các lớp gói bánh chưng và bánh tét. Mỗi lớp được sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, 1 kg thịt và \(1,6 \mathrm{~kg}\) đậu xanh. Để gói 1 cái bánh chưng cần \(0,5 \mathrm{~kg}\) gạo nếp, \(0,05 \mathrm{~kg}\) thịt và \(0,1 \mathrm{~kg}\) đậu xanh. Để gói 1 cái bánh tét cần \(0,75 \mathrm{~kg}\) gạo nếp, \(0,075 \mathrm{~kg}\) thịt và \(0,1 \mathrm{~kg}\) đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng bán được 30 ngàn đồng, mỗi cái bánh tét bán được 40 ngàn đồng. Để thu được số tiền nhiều nhất, mỗi lớp cần gói bao nhiêu cái bánh chưng, bao nhiêu cái bánh tét?
Giải thích:
Gọi số bánh chưng gói được là \(x\); số bánh tét gói được là \(y, x, y \in \mathbb{N}\).
Khi đó số tiền thu được là: \(F(x, y)=30 x+40 y\).
Số kg gạo nếp cần dùng là \(0,5 x+0,75 y\).
Số kg thịt cần dùng là \(0,05 x+0,075 y\).
Số kg đậu xanh cần dùng là \(0,1 x+0,1 y\).
Vì mỗi lớp chỉ được sử dụng tối đa 10 kg gạo nếp, 1 kg thịt và \(1,6 \mathrm{~kg}\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình
\(\left\{\begin{array} { l } { 0 , 5 x + 0 , 7 5 y \leq 1 0 } \\{ 0 , 0 5 x + 0 , 0 7 5 y \leq 1 } \\{ 0 , 1 x + 0 , 1 y \leq 1 , 6 } \\{ x \geq 0 , y \geq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y \leq 40 \\x+y \leq 16 \\x \geq 0, y \geq 0\end{array}\right.\right. \text { (I) }\)Bài toán đưa về tìm \(x, y\) là nghiệm của hệ bất phương trình \((I)\) sao cho biểu thức \(F(x, y)=30 x+40 y\) có giá trị lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \((I)\) là miền tứ giác \(O A B C\), trong đó \(O(0 ; 0), A(16 ; 0), B(8 ; 8)\), \(C\left(0 ; \frac{40}{3}\right)\).
Biểu thức \(F(x, y)\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \((I)\) khi \((x ; y)\) là tọa độ của một trong các đỉnh \(O, A, B, C\).
Ta có
\(\begin{array}{l}F(0 ; 0)=0 ; \\F(16 ; 0)=30.16+40.0=480 ; \\F(8 ; 8)=30.8+40.8=560 ; \\F\left(0 ; \frac{40}{3}\right)=30.0+40 \cdot \frac{40}{3}=\frac{1600}{3} .\end{array}\)Suy ra \(F(x, y)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 560 khi \(x=y=8 \in \mathbb{N}\) (thoả mãn).
Vậy để thu được số tiền nhiều nhất, mỗi lớp cần gói 8 cái bánh chưng và 8 cái bánh tét.
Câu hỏi này nằm trong: