Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((\mathrm{x}, \mathrm{y})\) thỏa mãn phương trình:
\(2^{x} x^{2}=9 y^{2}-12 y+19\)Giải thích:
Ta có \(: 2^{x} x^{2}=9 y^{2}-12 y+19 \Leftrightarrow 2^{x} x^{2}=(3 y-2)^{2}+15\)
\(\begin{array}{l}\text { +) Nếu x lẻ thì } x=2 k+1 \quad(\mathrm{k} \in \mathrm{N}) . \\\Rightarrow 2^{x} x^{2}=2^{2 k+1} \cdot x^{2}=4^{k} \cdot 2 x^{2}=(3+1)^{k} .2 x^{2} \equiv 2 x^{2}(\bmod 3) . \text { Mà } x^{2} \equiv 0 ; 1(\bmod 3) \\\Rightarrow 2.4^{k} \cdot x^{2} \equiv 0 ; 2(\bmod 3)\end{array}\)Mặt khác : \((3 y-2)^{2} \equiv 1(\bmod 3)\)
Vậy x không thể là số lẻ
\(x=2 k\left(k \in N^{*}\right)\)+) Nếu \(x\) chẵn thì
Ta có phương trình:
\(2^{2 k} \cdot 4^{2}-(3 y-2)^{2}=15 \Leftrightarrow\left(2^{k} \cdot 2 k-3 y+2\right) \cdot\left(2^{k} \cdot 2 k+3 y-2\right)=15 \text { (*) }\)Vì \(k, y \in N^{*}\) nên \(2^{k} .2 k+3 y-2\gt 2^{k} .2 k-3 y+2\).
Và \(2^{k} .2 k+3 y-2>0\) nên \(2^{k} .2 k-3 y+2>0\)
Do đó \((*) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k+3 y-2=15 \\ 2^{k} .2 k-3 y+2=1\end{array}\right.\) hoặc \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k+3 y-2=5 \\ 2^{k} .2 k-3 y+2=3\end{array}\right.\)
Trường hợp \(1: \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k+3 y-2=15 \\ 2^{k} .2 k-3 y+2=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k=8 \\ y=3\end{array}\right.\right.\) (vô nghiệm)
Truờng hợp 2: \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k+3 y-2=5 \\ 2^{k} .2 k-3 y+2=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2^{k} .2 k=4 \\ y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}k=1 \\ y=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
Vậy nghiệm nguyên dương cúa phương trình là \((\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 ; 1)\)
Câu hỏi này nằm trong: