Ta có \(\log _{2}\left(x^{2}+m x+m-3\right) \geq \log _{2}(x-1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}+m x+m-3 \geq x-1 \\ x-1\gt 0\end{array}\right.\).

Bất phương trình \(\log _{2}\left(x^{2}+m x+m-3\right) \geq \log _{2}(x-1)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc tập xác định khi và chỉ khi \(x^{2}+(m-1) x+m-2 \geq 0\) đúng với mọi \(x \in(1 ;+\infty)\).

Ta có \((1) \Leftrightarrow(x+1)(x+m-2) \geq 0\)

TH 1. Nếu \(2-m=-1 \Leftrightarrow m=3\) thì (1) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên thoả mãn.

TH 2. Nếu \(2-m>-1 \Leftrightarrow m\lt 3\) thì (1) có nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x \leq-1 \\ x \geq 2-m\end{array}\right.\).

Để (1) đúng với mọi \(x \in(1 ;+\infty)\) thì \(2-m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq 1\).

Kết hợp điều kiện ta có \(1 \leq m\lt 3\).

TH 3. Nếu \(2-m\lt -1 \Leftrightarrow m\gt 3\) thì (1) có nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x \leq 2-m \\ x \geq-1\end{array}\right.\) khi đó (1) luôn đúng với mọi \(x \in(1 ;+\infty)\).