Điều kiện xác định \(\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+6 x-4\gt 0 \\ \log _{3}\left(-x^{2}+6 x-4\right) \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3-\sqrt{5}\lt x\lt 3+\sqrt{5} \\ -x^{2}+6 x-4 \neq 1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3-\sqrt{5}\lt x\lt 3+\sqrt{5} \\ x \notin\{1 ; 5\}\end{array}\right.\right.\right.\).

Tập xác định \((3-\sqrt{5} ; 3+\sqrt{5}) \backslash\{1 ; 5\}\).

Các số nguyên thuộc tập xác định là: \(\{2 ; 3 ; 4\}\) và do đó có 3 số nguyên thuộc tập xác định của hàm số đã cho.