Cho hàm số \(y=x^{3}-3 m x^{2}+3\) có đồ thị \((C)\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d: y=x\) cắt đồ thị \((C)\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Giải thích:
Ta có phương trình hoành độ \(x^{3}-3 m x^{2}+3=x \Leftrightarrow x^{3}-3 m x^{2}-x+3=0\), (1)
Do phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra:
\(2 x_{2}=x_{1}+x_{3},(2) \text {. }\)Mặt khác theo định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba ta có \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 m \\ x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}=-1 \text {. } \\ x_{1} x_{2} x_{3}=-3\end{array}\right.\)
Thay (2) vào phương trình đầu tiên ta được \(x_{2}=m\), mà \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (1) ta được \(-2 m^{3}-m+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=1 \\ 2 m^{2}+2 m+3=0\end{array} \Leftrightarrow m=1\right.\).
Thử lại với \(m=1\) ta được phương trình hoành độ \(x^{3}-3 x^{2}-x+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3\end{array}\right.\) dễ thấy ba nghiệm này lập thành cấp số cộng với công sai \(d=2\).
Câu hỏi này nằm trong: