Ta có \(A D \perp A B, A D \perp A C \Rightarrow A D \perp(A B C)\).

Mặt khác ta có \(I\) là trung điểm mà tam giác \(A B C\) có \(A B=A C=1, A B \perp A C\) nên tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\). Suy ra \(A I \perp B C\) và \(B I=\frac{B C}{2}=\frac{\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Dựng hình bình hành \(A I B K \Rightarrow A I / / B K \Rightarrow A I / /(D B K)\).

Do đó \(d(B D, A I)=d(A I,(D B K))=d(A,(D B K))\).

Mà \(A I \perp B C\) nên \(A I B K\) là hình chữ nhật và \(A K=B I=\frac{\sqrt{2}}{2}, A K \perp B K\).

Lại có \(A D \perp(A B C)=(A C B K) \Rightarrow A D \perp B K\) suy ra \(B K \perp(A D K) \Rightarrow(D B K) \perp(A D K)\) theo giao tuyến \(D K\).

Kẻ \(A H \perp D K \Rightarrow A H \perp(D B K) \Rightarrow A H=d(A,(D B K))\).

Có \(\frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{A D^{2}}+\frac{1}{A K^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{9}{4} \Leftrightarrow A H=\frac{2}{3}\).

Vậy \(d(B D, A I)=\frac{2}{3}\).