Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình thoi cạnh \(a, \widehat{B A D}=60^{\circ}\) và \(S A\) vuông góc với mặt phẳng \((A B C D)\). Góc giữa hai mặt phẳng \((S B D)\) và \((A B C D)\) bằng \(45^{\circ}\). Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B\) và \(N\) là trung điểm của \(S C\). Mặt phẳng \((M N D)\) chia khối chóp \(S . A B C D\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) có thể tích \(V_{1}\), khối đa diện còn lại có thể tích \(V_{2}\) (tham khảo hình vẽ sau). Tính tỉ số \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\).

A.
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{5}\).
B.
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{5}{3}\).
C.
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{12}{7}\).
D.
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{7}{5}\).
Giải thích:

Gọi \(I=D M \cap A B\) và \(K=M N \cap S B\) Ta có: \(B, N\) lần lượt là trung điểm của \(M C, S C\) nên \(K\) là trọng tâm tam giác \(S M C\).Và \(B I\) là đường trung bình của tam giác \(M C D\)
Khi đó \(\frac{V_{M B K I}}{V_{M C N D}}=\frac{M B}{M C} \cdot \frac{M K}{M N} \cdot \frac{M I}{M D}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} \Rightarrow V_{M B K I}=\frac{1}{6} V_{M C N D} \Rightarrow V_{B K I C N D}=5 V_{M B K I}\)+) Ta tính thể tích của khối \(S A B C D\) :
\(A B C D\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat{B A D}=60^{\circ} \Rightarrow \triangle B A D\) đều, cạnh \(a\)
\(\Rightarrow S_{A B C D}=2 S_{A B D}=2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\). Mặt khác \([(S B D),(A B C D)]=\widehat{S O A}=45^{\circ} \Rightarrow S A=O A=\frac{a \sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{S B C D}=\frac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A B C D}=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}}{4}\)
+) Tính thể tích khối \(K M I B\)
\(V_{K M I B}=\frac{1}{3} \cdot d(K,(M I B)) \cdot S_{M I B}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} d(S,(M I B)) \cdot S_{M I B}=\frac{1}{9} \cdot S A \cdot \frac{1}{2} \cdot S_{A B D}=\frac{1}{18} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}}{48}\)Do đó: \(V_{2}=\frac{5 a^{3}}{48}\) và \(V_{1}=\frac{a^{3}}{4}-\frac{5 a^{3}}{48}=\frac{7 a^{3}}{48} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{7}{5}\).
Câu hỏi này nằm trong: