Cho \(f(x)=e^{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(x+1)^{2}}}}\). Biết rằng \(f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \ldots f(2025)=e^{\frac{m}{n}}\) với \(m, n\) là các số tự nhiên và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính \(m-n^{2}\).
Giải thích:
Đặt \(g(x)=\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(1+x)^{2}}}\)
Với \(x\gt 0\) ta có:
\(\begin{aligned}g(x) & =\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(1+x)^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}+x^{2} \cdot(x+1)^{2}}}{x(x+1)}=\frac{\sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}}{x(x+1)} \\& =\frac{x^{2}+x+1}{x(x+1)}=1+\frac{1}{x(x+1)}=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\end{aligned}\)Suy ra \(g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2025)\)
\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(1+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)=2026-\frac{1}{2026}\)Khi đó \(f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \ldots f(2025)=e^{g(1)+g(2)+g(3)+\cdots+g(2025)}=e^{2026-\frac{1}{2026}}=e^{\frac{2026^{2}-1}{2026}}=e^{\frac{m}{n}}\).
Do đó \(m=2026^{2}-1, n=2026\).Vậy \(m-n^{2}=2026^{2}-1-20268^{2}=-1\).
Câu hỏi này nằm trong: