Trả lời: giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 .

Giả sử \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) thuộc đường elip. Ta có: \(\frac{x_{0}^{2}}{25}+\frac{y_{0}^{2}}{16}=1\).

Vì \(x_{0}^{2} \geq 0, y_{0}^{2} \geq 0\) nên \(\frac{x_{0}^{2}}{25}+\frac{y_{0}^{2}}{25} \leq \frac{x_{0}^{2}}{25}+\frac{y_{0}^{2}}{16} \leq \frac{x_{0}^{2}}{16}+\frac{y_{0}^{2}}{16} \Rightarrow \frac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{25} \leq 1 \leq \frac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{16}\)

\(\Rightarrow 16 \leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2} \leq 25 \Rightarrow 4 \leq \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} \leq 5 \Rightarrow 4 \leq O M \leq 5\)

\(M\) thuộc \((E)\) và \(O M=4\) khi \(M\) có toạ độ \((0 ;-4)\) hoặc \((0 ; 4)\).\(M\) thuộc \((E)\) và \(O M=5\) khi \(M\) có toạ độ \((-5 ; 0)\) hoặc \((5 ; 0)\).

Vậy \(O M\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 .