c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ cắt đường thẳng $G A$ tại $I$ khác $A$. Chứng $\text{minh} H I \perp A G$.

Q: c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ cắt đường thẳng $G A$ tại $I$ khác $A$. Chứng $\text{minh} H I \perp A G$.

Tứ giác $A I B C$ nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$$\Rightarrow \widehat{G I B}=\widehat{G C A} \Rightarrow$ hai tam giác $G I B$ và $G C A$ đồng dạng$\Rightarrow \frac{G I}{G C}=\frac{G B}{G A} \Rightarrow G I \cdot G A=G B \cdot G C$mà $G B \cdot G C=G E \cdot G F \Rightarrow G I \cdot G A=G E \cdot G F \Rightarrow \frac{G I}{G E}=\frac{G F}{G A}$.Hai tam giác $G I F$ và $G E A$ có $\hat{G}$ chung và $\frac{G I}{G E}=\frac{G F}{G A}$ nên hai tam giác đồng dạng $\Rightarrow \widehat{G I F}=\widehat{G E A} \Rightarrow$ tứ giác $A I F E$ nội tiếp kết hợp với tứ giác $A E H F$ nối tiếp $\Rightarrow$ tứ giác $A H F I$ nối tiếp.$\Rightarrow \widehat{A I H}=\widehat{A F H} \text {, mà } \widehat{A F H}=90^{\circ} \Rightarrow H I \perp A G$

Question

Accepted Answer

Tứ giác $A I B C$ nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$$\Rightarrow \widehat{G I B}=\widehat{G C A} \Rightarrow$ hai tam giác $G I B$ và $G C A$ đồng dạng

$\Rightarrow \frac{G I}{G C}=\frac{G B}{G A} \Rightarrow G I \cdot G A=G B \cdot G C$

mà $G B \cdot G C=G E \cdot G F \Rightarrow G I \cdot G A=G E \cdot G F \Rightarrow \frac{G I}{G E}=\frac{G F}{G A}$.

Hai tam giác $G I F$ và $G E A$ có $\hat{G}$ chung và $\frac{G I}{G E}=\frac{G F}{G A}$ nên hai tam giác đồng dạng $\Rightarrow \widehat{G I F}=\widehat{G E A} \Rightarrow$ tứ giác $A I F E$ nội tiếp kết hợp với tứ giác $A E H F$ nối tiếp

$\Rightarrow$ tứ giác $A H F I$ nối tiếp.

$\Rightarrow \widehat{A I H}=\widehat{A F H} \text {, mà } \widehat{A F H}=90^{\circ} \Rightarrow H I \perp A G$

THPT Uông Bí - Đề tuyển sinh lớp 10 (CT) 19-20 - Quảng Ninh - MĐ 5595