Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x=6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+\frac{54}{6+x y+y z+z \mathrm{x}}\)Giải thích:
Từ giả thiết \(x, y, z\) là các số dương và \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x=6\) ta có:
\(\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x y+y z+z x)=6+x y+y z+z x \\\Leftrightarrow(x+y+z)^{2}=6+x y+y z+z x \leq 6+\frac{(x+y+z)^{2}}{3} \\\Rightarrow(x+y+z)^{2} \leq 9 \Rightarrow x+y+z \leq 3\end{array}\)Theo bất đắng thức Cô-si, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{x^{3}}{y^{2}}+y+y \geq 3 x \Rightarrow \frac{x^{3}}{y^{2}} \geq 3 x-2 y, \frac{y^{3}}{z^{2}}+z+z \geq 3 y \Rightarrow \frac{y^{3}}{z^{2}} \geq 3 y-2 z \\\frac{z^{3}}{x^{2}}+x+x \geq 3 z \Rightarrow \frac{z^{3}}{x^{2}} \geq 3 z-2 x . \text { Nên } \frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}} \geq x+y+z\end{array}\)Từ đó:
\(\begin{array}{l}P \geq x+y+z+\frac{54}{(x+y+z)^{2}}=\left[\frac{(x+y+z)}{2}+\frac{(x+y+z)}{2}+\frac{27}{2(x+y+z)^{2}}\right]+\frac{81}{2(x+y+z)^{2}} \\\geq \frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9\end{array}\)Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Vậy \(\min P=9\) khi \(x=y=z=1\)
Câu hỏi này nằm trong: