Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương trên khoảng \((0 ;+\infty)\), có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn \(f(x) \ln f(x)=x\left(f(x)-f^{\prime}(x)\right), \forall x \in(0 ;+\infty)\). Biết \(f(1)=f(3)\), giá trị \(f(2)\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
\((12 ; 14)\).
B.
\((4 ; 6)\).
C.
\((1 ; 3)\).
D.
\((6 ; 8)\).
Giải thích:
Ta có:
\(f(x) \ln f(x)=x\left(f(x)-f^{\prime}(x)\right) \Leftrightarrow \ln f(x)=x\left(1-\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right) \Leftrightarrow \ln f(x)=x\left(1-(\ln f(x))^{\prime}\right)\)
\(\Leftrightarrow(x)^{\prime} \ln f(x)+x(\ln f(x))^{\prime}=x \Leftrightarrow(x \ln f(x))^{\prime}=x\).
Từ đó \(x \ln f(x)=\int x d x=\frac{1}{2} x^{2}+C\).
Cho \(x=1\) ta được \(\ln f(1)=\frac{1}{2}+C\)
Cho \(x=3\) ta được \(3 \ln f(3)=\frac{9}{2}+C\)
Theo bài ra thì \(f(1)=f(3)\), từ đó suy ra \(C=\frac{3}{2}\) nên \(f(x)=e^{\frac{1}{2} x+\frac{3}{2 x}}\).
Cho \(x=2\) ta được \(f(2)=e^{\frac{7}{4}} \simeq 5,75\)
Câu hỏi này nằm trong: