Đặt \(t=x^{2}-2 x\), với \(x \in\left[-\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}\right]\)

Bảng biến thiên của hàm số \(t=x^{2}-2 x\) trên đoạn \(\left[-\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}\right]\) là:

Dựa vào bảng biến thiên \(\Rightarrow t \in\left[-1 ; \frac{21}{4}\right]\).

Khi đó phương trình \(f\left(x^{2}-2 x\right)=m\)(1) trở thành \(f(t)=m\)(2).

Ta thấy, với mỗi giá trị \(t \in\left(-1 ; \frac{21}{4}\right]\) ta tìm được hai giá trị của \(x \in\left[-\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}\right]\).

Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc \(\left[-\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}\right]\) khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt thuộc \(\left(-1 ; \frac{21}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\) Đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(t)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc \(\left(-1 ; \frac{21}{4}\right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy chỉ có hai giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu là \(m=3\) và \(m=5\).