Ta có \(2^{\sin ^{2} x}+2^{1+\cos ^{2} x}=m \Leftrightarrow 2^{1-\cos ^{2} x}+2^{1+\cos ^{2} x}=m\) \((1)\)

Đặt \(t=2^{\cos ^{2} x}\), ta có \(0 \leq \cos ^{2} x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq t \leq 2\)

Phương trình \((1)\) trở thành: \(\frac{2}{t}+2 t=m\) \((2)\)

Xét hàm số \(f(t)=\frac{2}{t}+2 t\) với \(t \in[1 ; 2]\), ta có \(f^{\prime}(t)=2-\frac{2}{t^{2}} \geq 0 \forall t \in[1 ; 2]\)

\(\Rightarrow\) Hàm số \(f(t)=\frac{2}{t}+2 t\) đồng biến trên đoạn \([1 ; 2]\)

\(\Rightarrow f(1) \leq f(t) \leq f(2) . \Leftrightarrow 4 \leq f(t) \leq 5\)

Do đó phương trình \((1)\) có nghiệm khi phương trình \((2)\) có nghiệm \(t \in[1 ; 2]\) \(\Leftrightarrow 4 \leq m \leq 5\)