Từ giả thiết suy ra \(f^{\prime}\left(x^{2}\right)=x^{2}\left(x^{2}-2\right)^{2}\left(2 x^{2}+m+1\right)\)

Ta có: \(g^{\prime}(x)=2 x \cdot f^{\prime}\left(x^{2}\right)\).

Hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \([1 ;+\infty)\) khi và chi khi

\(\begin{array}{l}g^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in[1 ;+\infty) \Leftrightarrow 2 x\cdot f^{\prime}\left(x^{2}\right) \geq 0, \forall x \in[1 ;+\infty) \\\Leftrightarrow 2 x \cdot x^{2}\left(x^{2}-2\right)^{2}\left(2 x^{2}+m+1\right) \geq 0, \forall x \in[1 ;+\infty) \\\Leftrightarrow 2 x^{2}+m+1 \geq 0, \forall x \in[1 ;+\infty) \Leftrightarrow m \geq-2 x^{2}-1, \forall x \in[1 ;+\infty) \\\Leftrightarrow m \geq \max\limits_\left[1;+\infty\right) \left(-2 x^{2}-1\right)=-3 \Rightarrow m \geq-3\end{array}\)